梦溪笔谈
技艺
隙积术与会圆术
【原文】
算术求积尺①之法，如刍萌②、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑③、圆锥、陽马④之类，物形备矣，独未有隙积一术。
古法：凡算方积之物，有立方⑤，谓六幂皆方者。
其法再自乘则得之。
有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。
其法并上下广折半以为之广，以直高乘之⑥，又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾。
勾股求弦，以为斜高。
有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。
其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。
隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂⑦之类。
虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。
余思而得之，用刍童法为上位、下位，别列⑧下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。
假令积罂：最上行纵广各二罂，最下行各十二罂，行行相次。
先以上二行相次，率至十二，当十一行也。
以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。
重列⑨下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。
刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。
履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术⑩。
凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。
古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。
余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。
以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。
再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。
假令有圆田，径十步，欲割二步。
以半径为弦，五步自乘得二十五；又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九；用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。
以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。
今圆径十，已足盈数，无可除。
只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆径八步四尺也。
再割亦依此法。
如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。
此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。
【注释】
①积尺：在本文中泛指体积，也就是“立方尺”的意思。
积：数学名词，两个或多个数相乘的结果称为这些数的积。
在古代算学书籍里常借用长度单位名称来兼表面积单位或者体积单位，因此，“积尺”在古代既可以表示“平方尺”，也可以表示“立方尺”。
②刍萌：长方楔形状，其底面为长方形，两个侧面为梯形，也称为刍甍（hōnɡ）。
③鳖臑：一种锥体，底面为直角三角形且有一棱与底面垂直。
④陽马：四棱锥，有时指底面为长方形且有一棱与底面垂直的锥体。
⑤立方：文中指正方体。
⑥以直高乘之：用梯形面的垂直高相乘，文中指用上句中所得的数值（梯形的上下宽相加除以二）与高相乘。
至此，实际上就得到了这个梯形的面积，也为下一步乘以长度得到物体的体积作了准备。
⑦罂：古代一种腹大口小的陶制容器。
⑧别列：文中指另外计算。
⑨重列：另外列出。
⑩会圆之术：会圆术，沈括所创的一种计算圆弓形弧长的近似方法，其近似公式为C＝a+h2r×6，其中r为半径，h为矢高，a为弦长。
沈括并未给出这一公式的推导，它很可能与《九章算术》中“弧田术”有着某种密切的关系。
别：另，另外。
古代无“另”字，用“另”的地方常写作“别”。
各自乘：文中指将弦、股各自平方。
再割亦如之：再次切割也如此类推。
减去已割之弧，则再割之弧也：（用总的弧长）减去已割部分的弧长，就是再切割之田的弧长了。
步：古代计量单位，一步为五尺。
造微之术：比较一精一确的计算方法。
志：记，记述。
【译文】
算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、陽马等，各种形状的物体都具备了，只是没有隙积术。
古代的算法：凡计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体，其计算方法是把一条边自乘两次就可以求得了。
有堑堵，是指有点像土墙形状的物体，两边是斜的，两头的面是垂直的。
它的截面面积的算法是：先把上、下底的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘就求得了一个值；再将直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，所得之差除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。
有刍童，是指有点像翻过来的方斗形状，四侧都是斜面。
它的计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一（就求得了它的体积）。
隙积，是指堆累起来而其中有空隙的物体，像堆叠起来的棋子、分层建造起来的土坛以及酒馆里堆累起来的酒坛子一类的物体。
它们虽像倒扣着的斗，四侧都是斜面，但是由于边缘存在着一定的残缺或空隙，如果用刍童法计算，所得数量往往比实际的要少。
我想出了一种计算方法：用刍童法算出它的上位、下位数值，另外单独列出它的下底宽，减去上底宽，将所得之差乘高，取其六分之一，再并入前面的数目就可以了。
假设有用酒坛子累成的堆垛，最上层的长、宽都是两只坛子，最下层的长、宽都是十二只坛子，一层层一交一 错堆垛好。
先从最上层数起，数到有十二只坛子的地方，正好是十一层。
用刍童法来计算，把上层的长乘二得四，与下层的长相加得十六，与上层的宽相乘，得三十二；再把下层的长乘二得二十四，与上层的长相加得二十六，与下层的宽相乘，得三百一十二；上、下两数相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。
另外将下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十，与前面的数字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。
这就是这堆酒坛的数量。
运用刍童法算出的是实方的体积，运用隙积法算出的是空缺部分拼合成的体积，也就可以算出多余的体积。
丈量土地的方法，方、圆、曲、直的算法都有，不过没有会圆的算法。
凡是圆形的土地，既能够拆开来，也应该能让它拼合起来恢复圆形。
古代的算法，只用中破圆法把圆形拆开来计算，它的误差有达三倍之多的。
我另外设计了一种拆开、会合的计算方法。
假设有一块圆形的土地，用它的直径的一半作为弦，再以半径减去所割下的弧形的高，用它们的差作为股；弦、股各自平方，用弦的平方减去股的平方，将它们的差开平方后作为勾，再乘二，就是所割弧形田的弦长。
把所割的弧形田的高平方，乘二，再除以圆的直径，所得的商加上弧形的弦长，便是所割弧形田的弧长。
再割一块田也像这样计算，用总的弧长减去已割部分的弧长，就是再割之田的弧长了。
假如有块圆形的土地，直径是十步，想使割出的圆弧高二步，就用圆半径五步作为弦，五步自乘得二十五；又用半径减去弧形的高二步，它们的差三步作为股，自乘得九；用它与弦二十五相减得十六，开平方得四，这就是勾，再乘二，就是弧的弦长。
把圆弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位为四尺，用圆的直径相除。
现今圆的直径为十，已经满了整十数，不可除。
只用四尺加下圆弧直径，就是所割圆的弧长，共得圆弧直径八步四尺。
再割一块圆田，也依照这种方法。
如果圆直径是二十步，要求弧长，就应当折半，也就是所说的要用圆弧的半径来除它。
这两种方法都涉及一精一确的算法，是古书里没有说到的，随笔记录于此。
喻皓《木经》
【原文】
营舍之法，谓之《木经》，或云喻皓①所撰。
凡屋有“三分（去声）”：自梁以上为“上分”，地以上为“中分”，阶为“下分”。
凡梁长几何，则配极②几何，以为榱等③。
如梁长八尺，配极三尺五寸，则厅堂法也。
此谓之“上分”。
楹④若干尺，则配堂基若干尺，以为榱等。
若楹一丈一尺，则阶基四尺五寸之类，以至承棋、榱桷⑤皆有定法，谓之“中分”。
阶级有“峻”、“平”、“慢”三等；宫中则以御辇⑥为法：凡自下而登，前竿垂尽臂，后竿展尽臂，为“峻道”⑦；（荷辇十二人：前二人曰前竿，次二人曰前绦；又次曰前胁，后二人曰后胁；又后曰后绦，末后曰后竿。
辇前队长一人曰传唱，后一人曰报赛。
）前竿平肘，后竿平肩，为“慢道”；前竿垂手，后竿平肩，为“平道”。
此之谓“下分”。
其书三卷。
近岁土木之工益为严善，旧《木经》多不用，未有人重为之，亦良工之一业也。
【注释】
①喻皓：北宋前期建筑师。
浙东人。
曾被欧陽修称为“国朝以来木工”第一人。
②极：屋顶。
实指屋顶与横梁之间的垂直高度。
③榱（cuī）等：同“衰等”，等级，比例。
④楹：支撑横梁的木柱。
⑤承棋：即斗拱，梁和柱之间的承重结构。
榱桷：椽子。
⑥御辇：此指皇帝专坐的轿。
⑦“凡自下而登”四句：抬御辇升阶，当抬辇者都在台阶上时，最前面的二人（前竿）手臂自然下垂到手能握竿的最低度（“垂尽臂”），最后面的二人（后竿）则手臂上举到手能握竿的最高度（“展尽臂”），以此保持前后的平衡。
这样的台阶比较陡，所以叫做“峻道”。
下述“慢道”、“平道”，坡度依次降低，文意参此。
【译文】
关于屋舍的营造技术，有一部专门讨论的书籍叫做《木经》，有的说是喻皓所撰。
此书将屋舍建筑概括为“三分”：自梁以上为“上分”，梁以下、地面以上为“中分”，台阶为“下分”。
凡是梁长多少，则梁到屋顶的垂直高度就相应地配多少，以此定出比例。
如梁长八尺，梁到屋顶的高度就配三尺五寸，这是厅堂的规格。
这叫做“上分”。
柱子高若干尺，则堂基就相应地配若干尺，也以此定出比例。
如柱子高一丈一尺，则堂前大门台阶的宽度就配四尺五寸之类，以至于斗拱、椽子等都有固定的尺寸，这叫做“中分”。
台阶则有“峻”、“平”、“慢”三种；皇宫内是以御辇的出入为标准的：凡是抬御辇自下而上登台阶，前竿下垂尽手臂之长，后竿上举也尽手臂之长，这样才能保持平衡的台阶叫做“峻道”；（抬辇的共有十二人：前二人称前竿，其次二人称前绦；又其次二人称前胁，其后二人称后胁；再后二人称后绦，最后二人称后竿。
御辇的前面有队长一人称传唱，御辇的后面有一人称报赛。
）前竿与肘部相平，后竿与肩部相平，这样才能保持平衡的台阶叫做“慢道”；前竿下垂尽手臂之长，后竿与肩部相平，这样就能保持平衡的台阶叫做“平道”。
这些叫做“下分”。
其书共有三卷。
近年土木建筑的技术更为严谨完善了，已多不用旧时的《木经》，然而还没有人重新编写一部这样的书，这也应该是优秀的木工信得留意的一项业内之事。
毕昇发明活字印刷
【原文】
版印①书籍，唐一人尚未盛为之，自冯瀛王②始印五经，已后③典籍④皆为版本⑤。
庆历中，有布衣⑥毕昇，又为活版⑦。
其法用胶泥刻字，薄如钱唇⑧，每字为一印，火烧令坚。
先设一铁板，其上以松脂、腊和⑨纸灰之类冒之。
欲印则以一铁范⑩置铁板上，乃密布字印。
满铁范为一板，持就火炀之，药稍镕，则以一平板按其面，则字平如砥。
若止印三、二本，未为简易；若印数十百千本，则极为神速。
常作二铁板，一板印刷，一板已自布字。
此印者才毕，则第二板已具。
更互用之，瞬息可就。
每一字皆有数印，如“之”、“也”等字，每字有二十余印，以备一板内有重复者。
不用则以纸贴之，每韵为一贴，木格贮之。
有奇字素无备者，旋刻之，以草火烧，瞬息可成。
不以木为之者，木理有疏密，沾水则高下不平，兼与药相粘，不可取。
不若燔土，用讫再火令药镕，以手拂之，其印自落，殊不沾污。
昇死，其印为余群从所得，至今保藏。
【注释】
①版印：雕版印刷，即在成块的木板上按镜像雕刻好文字、图案，再用这样的板子进行印刷。
一般认为这种方法起源于隋代。
②冯瀛王：冯道（882—954年），五代时瀛州景城（今河北沧州西）人，后唐、后晋时历任宰相，后汉时任太师，后周时又任太师、中书令，死后追封为瀛王。
③已后：以后。
已，通“以”。
④典籍：经典和古籍。
⑤版本：用雕版法印制而成的书籍，相对于抄本而言。
五经等儒家经典过去只有手抄本，自冯道组织人用雕版法印制后，才有了区别于抄本的版本。
⑥布衣：平民。
⑦活版：即活字板。
唐代雕版印刷已经很发达，但都是用整块的木板整页雕刻。
活版则不同，是用一个个字模临时拼组而成。
活版的出现，标志着印刷术又经历了一次革命，是中国古代重大发明之一。
⑧钱唇：铜钱的边。
毕昇的泥活字，是用胶泥制成块后刻出的反体凸字，“薄如钱唇”是说所刻反体凸字的厚度与铜钱边缘的厚度差不多。
⑨和：混合。
⑩铁范：铁框子。
范：模子。
就：靠近。
药：即上文“松脂、腊和纸灰之类”，有黏性，遇热熔化，冷却后会凝固。
如砥：意思是说像磨刀石一样平。
自：另自，别自。
更互：一交一 替，轮流。
贴：贴上标签，用标签标示。
贮：储存。
素：往常，平常。
木理：木材的纹理。
燔（fán）：烧。
【译文】
毕昇用雕版印刷书籍，唐朝人还没有大规模采用。
至五代时的冯瀛王才开始用雕版印制五经，从那以后的各种典籍和图书都是雕版印刷本了。
庆历年间，有位叫毕昇的平民又创造了活字印版。
他的方法是用胶泥刻字，字的厚薄像铜钱的边缘一般，每个字制成一个字模，用火烧烤使它变得坚硬。
先设置一块铁板，上面用松脂、蜡混合纸灰这一类东西覆盖住。
想要印刷时，就拿一个铁框子放在铁板上，然后密密地排列好字模。
排满一铁框就作为一个印版，拿着它靠近火烘烤；等松脂等物开始熔化时，就拿一块平板按压它的表面，于是，排在板上的字模就平整得像磨刀石一样。
如果只印制三两本书，（这种方法）不能算很简便；如果印刷几十乃至成百上千本书，（这种方法）就显得特别快捷。
印刷时通常制作两块铁板，一块正在印刷，另一块已经另外排字模；这一块刚印完，另一块已经准备好了。
两块一交一 替使用，极短的时间就可以完成。
每一个字都有好多个字模，像“之”、“也”等字，每个字有二十多个字模，用来防备一块板里面有重复出现的字。
（字模）不用时，就用纸条做的标签分类加以标示，每个韵部做一个标签，用木格把它们储存起来。
遇到平时没有准备的生冷之字，随即把它刻出来，用草火烧烤，很快可以制成。
不拿木头制作活字模，是因为木头的纹理有疏有密，沾了水就会变得高低不平，加上容易与药物互相粘连，不能（重新把字模）取下来。
不如用胶泥烧制字模，使用完毕后，再次用火烘烤，使药物熔化，用手一抹，那些字模就会自行脱落，一点也不会被药物弄脏。
毕昇死后，他的字模被我的堂房兄弟和侄子们得到了，到现在还珍藏着。
卫朴一精一于历术
【原文】
淮南人卫朴一精一于历术，一行之流也。
《春秋》日蚀三十六，诸历通验，密者不过得二十六七，唯一行得二十九；朴乃得三十五，唯庄公十八年一蚀，今古算皆不入蚀法，疑前史误耳。
自夏仲康五年癸巳岁至熙宁六年癸丑，凡三千二百一年，书传所载日蚀凡四百七十五，众历考验虽各有得失，而朴所得为多。
朴能不用算①推古今日月蚀，但口诵乘除，不差一算②。
凡大历③悉是算数，令人就耳一读，即能暗诵；旁通历④则纵横诵之。
尝令人写历书，写讫，令附耳读之，有差一算者，读至其处，则曰“此误某字”，其一精一如此。
大乘除皆不下，照位运筹如飞⑤，人眼不能逐。
人有故移其一算者，朴自上至下手循一遍，至移算处则拨正而去。
熙宁中撰《奉元历》，以无候簿⑥，未能尽其术，自言得六七而已，然已密于他历。
【注释】
①不用算：不用计算工具。
古人以算筹为计算工具，有专用的盘，故后来称珠算工具为“算盘”。
据现在所知，宋代珠算的算盘可能已比较流行，但仍常用算筹。
又，从沈括本条的记录来看，卫朴晚年可能视力已很差，或者已目盲。
②一算：犹今言一个数。
每个数都可看成是一次运算，故称“一算”。
③大历：指正式制定的历法书。
④旁通历：当是指历史年表一类的工具书。
这类年表通常以历法年代（或称“长历”）与各朝代的纪年相对照，纵横一交一 错列成表格，古人称为“旁行斜上”或“旁通”。
历法的制定需要参考历史纪年。
⑤“大乘除皆不下”二句：指卫朴用算筹运算时，不用像现在列算式一样，一步一步摆下去，只按照数位放置或移动少量算筹，即可得出结果。
犹如现在一精一于珠算者，不用从个位数打起，只从高位拨珠，后面的珠子稍做调整，便已得出结果。
古人用算筹乘除，被乘数和被除数放在上边叫“上位”，乘数和除数放在下边叫“下位”，中间为运算的位置叫“中位”。
⑥候簿：候天的记录簿，即观测记录。
【译文】
淮南人卫朴精通历法，在这方面是不亚于唐僧一行的人物。
《春秋》一书中记载了三十六次日食，历代历法学者通加验证，一般认为所记与实际天象密合的不过有二十六七次，只有一行证明有二十九次；而卫朴则证明有三十五次，只有庄公十八年的一次日食，与古今学者对日食发生日期的推算都不合，怀疑是《春秋》记错了。
从夏代仲康五年癸巳岁到宋代熙宁六年癸丑岁，凡三千二百零一年，各种书籍所记载的日食共有四百七十五次，以往各种历法的推考检验虽各有得失，而卫朴所得出的合乎实际的结论要较前人为多。
卫朴不用计算工具就能够推算古今的日月食，加减乘除都只用口算，却一个数都不会错。
凡是正式制定的历法书，全都是一大堆计算程序和数字，卫朴叫人在耳边读一遍，就能够背下来；对于历表和各种年表，他也都能纵横背诵。
他曾让人抄写历书，抄写完毕后，叫抄写的人贴着他的耳朵读一遍，有哪个地方错了一个数，读到那地方时，他就说“某字抄错了”，他的学问竟能一精一湛到这样的程度。
他用算筹运算时，很大数字的乘除都不用一步一步摆下去，只照着数位运筹如飞，人的眼睛都跟不上。
有人曾故意移动了他的一只算筹，他从上到下用手摸了一遍，到被移动的地方，又随手拨正而离开。
熙宁年间制定《奉元历》，因为没有实际的观测记录，卫朴未能全部发挥他的才能和知识，他自己也说这部历法的可靠性大约只有六七成，然而已比其他历法要一精一密一些。
梵天寺木塔
【原文】
钱氏①据两浙②时，于杭州梵天寺建一木塔③，方两三级，钱帅④登之，患⑤其塔动。
匠师云：“未布瓦⑥，上轻，故如此。”
乃以瓦布之，而动如初。
无可奈何，密使其妻见喻皓⑦之妻，赂⑧以金钗，问塔动之因。
皓笑曰：“此易耳。
但逐层布板讫⑨，便实钉⑩之，则不动矣。”
匠师如其言，塔遂定。
盖钉板上下弥束，六幕相联如肱箧。
人履其板，六幕相持，自不能动。
人皆伏其一精一练。
【注释】
①钱氏：指五代吴越国（907—978）的吴越王及其子孙。
吴越国为钱镠所建。
②两浙：宋时路名，浙东、浙西的合称，相当于今浙一江一 省及一江一 苏省的长一江一 以南部分地区。
③于杭州梵天寺建一木塔：在杭州梵天寺建造一座木塔。
此处的梵天寺木塔指宋乾德二年（964）重建的木塔。
原塔始建于后梁贞明二年（916）。
④钱帅：即钱俶（929—988），钱镠的孙子，后归顺北宋，封吴越国王及天下兵马大元帅。
⑤患：担忧，忧虑。
⑥布瓦：盖瓦。
布：铺设。
⑦喻皓：也作预皓，五代末、北宋初著名建筑工匠，浙一江一 杭州一带人，生卒年代不详，普通木工出身，北宋初年曾任都料（掌管设计、施工的木工），人称预都料。
他在长期的建筑实践中，善于学习 ，勤于思索，在木结构建造技术方面积累了丰富的经验，尤其擅长建筑多层宝塔和楼阁。
相传喻皓曾撰成《木经》三卷。
《木经》为我国古代重要建筑工程著作，可惜亡佚，具体内容现已无法窥究。
沈括《梦溪笔谈·》中还有一条笔记专记《木经》，虽然文字不多，但是为我们提一供了与《木经》有关的弥足珍贵的资料。
⑧赂：赠送财物。
赂在上古并不作贿赂讲，其由“赠送财物”引申出的“贿赂”之义是后起的。
“贿赂”在古代叫“赇”。
⑨讫（qì）：完毕，终了。
⑩实钉：用钉子钉实、钉牢。
弥束：全部紧束，文中指“通过逐层钉板，使塔体得到紧固、结构得到加强”的意思。
六幕：文中指立方体的上、下、左、右、前、后六个面，即下文举例所用箱子的六个面。
肱箧（qiè）：撬开箱子，此处指箱子。
履：践踏，踩。
相持：互相支撑。
伏：通“服”，敬佩，信服。
一精一练：一精一熟。
【译文】
钱氏王朝统治两浙时，在杭州梵天寺修建一座木塔，才建了两三层时，钱帅登上木塔，嫌它晃动。
工匠说：“还没有盖瓦，上面轻，所以才会这样。”
于是在上面盖了瓦，但是木塔还是像当初一样晃动。
实在没有办法了，工匠就暗地里让妻子去见喻皓的妻子，给她送了金钗，求她向喻皓打听木塔晃动的原因。
喻皓笑着说：“这个容易啊，只要逐层铺上木板，用钉子钉牢，就不会晃动了。”
工匠按他说的（去做），塔身于是稳定了。
因为钉牢木板以后，各层上下更加紧密连接，上、下、左、右、前、后六面互相连接，就像一只箱子。
人踩上去，上下及周边四面互相支撑，当然不会晃动。
人们都佩服喻皓一精一熟。
【评析】
本门所记各项技能、技术，包含重要材料。
如：（1）介绍沈括本人的数学成就，包括隙积术（有间隙垛体体积的计算方法）、会圆术（由已知圆的直径和圆弧的高求圆弧弧长的方法）等；（2）介绍喻皓《木经》的建筑技术；（3）介绍毕昇发明活字印刷的技术；（4）介绍天文历算家卫朴的事迹。