九章算术
卷八
《》作者：张苍
○方程（以御错糅正负） 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问上、 中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。
中禾一秉四斗四分斗 之一。
下禾一秉二斗四分斗之三。
方程 〔程，课程也。
群物总杂，各列有数，总言其实。
令每行为率。
二物者再程， 三物者三程，皆如物数程之。
并列为行，故谓之方程。
行之左右无所同存，且为 有所据而言耳。
此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。
又列中、左行如右 行也。
〕 术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。
中、左禾列 如右方。
以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔为术之意，令少行减多行，反复相减，则头位必先尽。
上无一位，则此行 亦阙一物矣。
然而举率以相减，不害余数之课也。
若消去头位，则下去一物之实。
如是叠令左右行相减，审其正负，则可得而知。
先令右行上禾乘中行，为齐同之 意。
为齐同者，谓中行直减右行也。
从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义 然矣。
〕 又乘其次，亦以直除。
〔复去左行首。
〕 然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。
〔亦令两行相去行之中禾也。
〕 左方下禾不尽者，上为法，下为实。
实即下禾之实。
〔上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。
欲约众秉之实，当以禾秉数 为法。
列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣。
各以其余一位 之秉除其下实。
即计数矣用算繁而不省。
所以别为法，约也。
然犹不如自用其旧。
广异法也。
〕 求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
〔此谓中两禾实，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾，其列实以减下实。
而 左方下禾虽去一，以法为母，于率不通。
故先以法乘，其通而同之。
俱令法为母， 而除下禾实。
以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实。
减于下实， 则其数是中禾之实也。
〕 余，如中禾秉数而一，即中禾之实。
〔余，中禾一位之实也。
故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。
〕 求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。
〔此右行三禾共实，合三位之实。
故以二位秉数约之，乃得一秉之实。
今中 下禾之实其数并见，令乘右行之禾秉以减之。
故亦如前各求列实，以减下实也。
〕 余，如上禾秉数而一，即上禾之实。
实皆如法，各得一斗。
〔三实同用，不满法者，以法命之。
母、实皆当约之。
〕 今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一 斗，与上禾二秉，而实一十斗。
问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实一 斗五十二分斗之一十八。
下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。
损之曰益，益之曰损。
〔问者之辞虽？今按：实云上禾七秉，下禾二秉，实一十一斗；上禾二秉， 下禾八秉，实九斗也。
“损之曰益”，言损一斗，余当一十斗；今欲全其实，当 加所损也。
“益之曰损”，言益实以一斗，乃满一十斗；今欲知本实，当减所加， 即得也。
〕 损实一斗者，其实过一十斗也；益实一斗者，其实不满一十斗也。
〔重谕损益数者，各以损益之数损益之也。
〕 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。
上取中、中取下、下取 上各一秉而实满斗。
问上、中、下禾实一秉各几何？答曰上禾一秉实二十五分斗 之九。
中禾一秉实二十五分斗之七。
下禾一秉实二十五分斗之四。
术曰：如方程。
各置所取。
〔置上禾二秉为右行之上，中禾三秉为中行之中，下禾四秉为左行之下，所 取一秉及实一斗各从其位。
诸行相借取之物皆依此例。
〕 以正负术入之。
正负术曰： 〔今两算得失相反，要令正负以名之。
正算赤，负算黑，否则以邪正为异。
方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术。
而其并减之势不得广通，故使赤、 黑相消夺之，于算或减或益。
同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉。
著 此二条，特系之禾以成此二条之意。
故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊 足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率。
然则其正无入以负之，负无入以 正之，其率不妄也。
〕 同名相除， 〔此谓以赤除赤，以黑除黑，行求相减者，为去头位也。
然则头位同名者， 当用此条，头位异名者，当用下条。
〕 异名相益， 〔益行减行，当各以其类矣。
其异名者，非其类也。
非其类者，犹无对也， 非所得减也。
故赤用黑对则除，黑；无对则除，黑；黑用赤对则除，赤；无对则 除，赤；赤黑并于本数。
此为相益之，皆所以为消夺。
消夺之与减益成一实也。
术本取要，必除行首。
至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异 而一也。
〕 正无入负之，负无入正之。
〔无入，为无对也。
无所得减，则使消夺者居位也。
其当以列实或减下实， 而行中正负杂者亦用此条。
此条者，同名减实，异名益实，正无入负之，负无入 正之也。
〕 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
〔此条异名相除为例，故亦与上条互取。
凡正负所以记其同异，使二品互相 取而已矣。
言负者未必负于少，言正者未必正于多。
故每一行之中虽复赤黑异算 无伤。
然则可得使头位常相与异名。
此条之实兼通矣，遂以二条反覆一率。
观其 每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。
又，本设诸行，欲因成数以相去 耳。
故其多少无限，令上下相命而已。
若以正负相减，如数有旧增法者，每行可 均之，不但数物左右之也。
〕 今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当 下禾五秉。
问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉五升。
下禾一秉二升。
术曰：如方程。
置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。
〔言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。
故互其 算，令相折除，以一斗一升为差。
为差者，上禾之余实也。
〕 次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。
以正负术入之。
〔按：正负之术，本设列行，物程之数不限多少，必令与实上下相次，而以 每行各自为率。
然而或减或益，同行异位，殊为二品，各自并、减，之差见于下 也。
〕 今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升， 当上禾五秉。
问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八升。
下禾一秉实三 升。
术曰：如方程。
置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。
次，上禾 五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。
以正负术入之。
〔言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余是与下禾十秉相当之数。
故亦互 其算，而以一斗八升为差实。
差实者，上禾之余实。
〕 今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二 秉。
问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八斗。
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程。
置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。
次置上禾二秉 负，下禾五秉正，益实一斗负。
以正负术入之。
〔言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也。
故亦互其算，而 以六斗为差实。
差实者，下禾之余实。
〕 今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两。
问牛、羊各直金几何？ 答曰：牛一直金一两二十一分两之一十三。
羊一直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。
〔假令为同齐，头位为牛，当相乘。
右行定，更置牛十，羊四，直金二十两； 左行：牛十，羊二十五，直金四十两。
牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使 之然也。
以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也。
以小推大， 虽四五行不异也。
〕 今有卖牛二，羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三，豕三，以买九羊， 钱适足；卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。
问牛、羊、豕价各几何？答曰 牛价一千二百。
羊价五百。
豕价三百。
术曰：如方程。
置牛二，羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊 九负，豕三正；次五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。
以正负术入之。
〔此中行买、卖相折，钱适足，故但互买卖算而已。
故下无钱直也。
设欲以 此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。
是故终于下实虚缺矣。
故 注曰正无实负，负无实正，方为类也。
方将以别实加适足之数与实物作实。
盈不足章“黄金白银”与此相当。
“假令黄金九，白银一十一，称之重适等。
一交一 易其一，金轻十三两。
问金、银一枚各重几何？”
与此同。
〕 今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。
一雀一燕一交一 而处，衡适平。
并 雀、燕重一斤。
问雀、燕一枚各重几何？答曰：雀重一两一十九分两之一十三。
燕重一两一十九分两之五。
术曰：如方程。
一交一 易质之，各重八两。
〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。
列两行程数。
左行 头位其数有一者，令右行遍除。
亦可令于左行而取其法、实于左。
左行数多，以 右行取其数。
左头位减尽，中、下位算当燕与实。
右行不动。
左上空，中法，下 实，即每枚当重宜可知也。
按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀、四燕重 相当。
雀率重四，燕率重三也。
诸再程之率皆可异术求也，即其数也。
〕 今有甲、乙二人持钱不知其数。
甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。
问甲、乙持钱各几何？答曰：甲持三十七钱半。
乙持二十五钱。
术曰：如方程。
损益之。
〔此问者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。
各以分母乘其全， 内子。
行定：二甲，一乙而钱一百；二甲，三乙而钱一百五十。
于是乃如方程。
诸物有分者放此。
〕 今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半 牛之价。
问牛、马价各几何？答曰：马价五千四百五十四钱一十一分钱之六。
牛 价一千八百一十八钱一十一分钱之二。
术曰：如方程。
损益之。
〔此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也。
一马半与一牛直 钱一万，通分内子，右行为三马，二牛，直钱二万。
二牛半与一马直钱一万，通 分内子，左行为二马，五牛，直钱二万也。
〕 今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。
武马借 中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。
问武、中、下马一匹各 力引几何？答曰：武马一匹力引二十二石七分石之六。
中马一匹力引一十七石七 分石之一。
下马一匹力引五石七分石之五。
术曰：如方程。
各置所借，以正负术入之。
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠。
乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不 足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。
如各得所不足 一绠，皆逮。
问井深、绠长各几何？答曰：井深七丈二尺一寸。
甲绠长二丈六尺 五寸。
乙绠长一丈九尺一寸。
丙绠长一丈四尺八寸。
丁绠长一丈二尺九寸。
戊绠 长七尺六寸。
术曰：如方程。
以正负术入之。
〔此率初如方程为之，名各一逮井。
其后，法得七百二十一，实七十六，是 为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。
以法除实者，而戊一绠逮井之数定， 逮七百二十一分之七十六。
是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以 言之。
〕 今有白禾二步，青禾三步，黄禾四步，黑禾五步，实各不满斗。
白取青、黄， 青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。
问白、青、黄、黑 禾实一步各几何？答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三。
青禾一步实一百 一十一分斗之二十八。
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七。
黑禾一步实一百一 十一分斗之一十。
术曰：如方程。
各置所取，以正负术入之。
今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆过于石。
甲二重如乙一，乙三重 如丙一，丙四重如甲一。
问甲、乙、丙禾一秉各重几何？答曰：甲禾一秉重二十 三分石之一十七。
乙禾一秉重二十三分石之一十一。
丙禾一秉重二十三分石之一 十。
术曰：如方程。
置重过于石之物为负。
〔此问者言甲禾二秉之重过于一石也。
其过者何云？如乙一秉重矣。
互其算， 令相折除，而一以石为之差实。
差实者，如甲禾余实。
故置算相与同也。
〕 以正负术入之。
〔此入，头位异名相除者，正无入正之，负无入负之也。
〕 今有令一人，吏五人，从者一十人，食鸡一十；令一十人，吏一人，从者五 人，食鸡八；令五人，吏一十人，从者一人，食鸡六。
问令、吏、从者食鸡各几 何？答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。
吏一人食一百二十二分鸡之四十一。
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程。
以正负术入之。
今有五羊，四犬，三鸡，二兔，直钱一千四百九十六；四羊，二犬，六鸡， 三兔，直钱一千一百七十五；三羊，一犬，七鸡，五兔，直钱九百五十八；二羊， 三犬，五鸡，一兔，直钱八百六十一。
问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价 一百七十七。
犬价一百二十一。
鸡价二十三。
兔价二十九。
术曰：如方程。
以正负术入之。
今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗， 麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗，麦五斗，菽七斗， 荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗，麦五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗， 直钱一百一十二；麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。
问 一斗直几何？荅曰：麻一斗七钱。
麦一斗四钱。
菽一斗三钱。
荅一斗五钱。
黍一 斗六钱。
术曰：如方程。
以正负术入之。
〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。
其拙于一精一理徒按本术者， 或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。
故其算也，莫不暗 于设通而专于一端。
至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。
更有异术者， 庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。
夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁 之理。
故能和神爱刃，速而寡尤。
凡九章为大事，按法皆不尽一百算也。
虽布算 不多，然足以算多。
世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论 其设动无方，斯胶柱调瑟之类。
聊复恢演，为作新术，著之于此，将亦启导疑意。
网罗道一精一，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉。
方程新术曰：以正负术入之。
令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其 求一行二物正负相借者，是其相当之率。
又令二物与他行互相去取，转其二物相 借之数，即皆相当之率也。
各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。
更置 成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同。
并，以为法。
其当相并而行中 正负杂者，同名相从，异名相消，余，以为法。
以下置为实。
实如法，即合所问 也。
一物各以本率今有之，即皆合所问也。
率不通者，齐之。
其一术曰：置群物通率为列衰。
更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以 为法。
其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。
以成行下实乘 列衰，各自为实。
实如法而一，即得。
以旧术为之。
凡应置五行。
今欲要约，先置第三行，减以第四行，又减第五 行；次置第二行，以第二行减第一行，又减第四行。
去其头位；余，可半；次置 右行及第二行。
去其头位；次以右行去第四行头位，次以左行去第二行头位，次 以第五行去第一行头位；次以第二行去第四行头位；余，可半；以右行去第二行 头位，以第二行去第四行头位。
余，约之为法、实。
实如法而一，得六，即有黍 价。
以法治第二行，得荅价，右行得菽价，左行得麦价，第三行麻价。
如此凡用 七十七算。
以新术为此。
先以第四行减第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下 位，又以减左行下位，不足减乃止；次以左行减第三行下位，次以第三行去左行 下位。
讫，废去第三行。
次以第四行去左行下位，又以减右行下位；次以右行去 第二行及第四行下位；次以第二行减第四行及左行头位；次以第四行减左行菽位， 不足减乃止；次以左行减第二行头位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行 头位，次以第二行去左行头位，余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅；次以 左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止；次以右行减第二行 头位，不足减乃止；次以第二行去右行头位，次以左行去右行头位；余，上得六， 下得五，是为荅六当黍五；次以左行去右行荅位，余，约之，上为二，下为一； 次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位；次，左行去 第二行下位，余，上得三，下得四，是为麦三当菽四；次以第二行减第四行下位； 次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是为麻四当麦七。
是为相当之 率举矣。
据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四；又麦三当菽四，即为麦价率四 而菽价率三；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五；又荅六当黍五，即为荅 价率五而黍价率六；而率通矣。
更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗，菽四 斗正，荅三斗负，下实四正。
求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数， 如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。
则菽、荅化为 麻。
以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。
置四为实， 而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣以法除得七，即麻一斗之价。
置麦率 四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。
以麻率七为法。
所得即 各为价。
亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。
并， 以为法。
如此，即无正负之异矣，择异同而已。
又可以一术为之。
置五行通率， 为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六，以为列衰。
成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗 负，各以其率乘之。
讫，令同名相从，异名相消，余为法。
又置下实乘列衰，所 得各为实。
此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价。
如此则凡用一百二十 四算也。
〕